Logika Matematika

1) Apakah logika itu?

Perhatikan ilustrasi berikut ini!

Anda adalah seorang siswa SMK yang baru saja lulus sekolah dan langsung memulai berwirausaha dengan berdagang, yang sebagian modalnya Anda pinjam dari seorang teman. Anda berjanji, “Bila saya tidak rugi, saya akan melunasi semua utang saya sesegera mungkin”. Keadaan berikut ini, yang manakah Anda dapat dikatakan ingkar janji?

i) Anda tidak rugi dan Anda melunasi utang dengan segera

ii) Anda tidak rugi dan Anda tidak melunasi utang dengan segera

iii) Anda melunasi utang padahal anda rugi

iv) Anda melunasi utang dan Anda tidak rugi

Jelas bahwa tanpa logika, kita sering melakukan kesalahan dalam penarikan kesimpulan.

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita di hadapkan pada suatu keadaan yang mengharuskan kita untuk membuat suatu keputusan. Agar keputusan kita itu baik dan benar, maka terlebih dahulu kita harus dapat menarik kesimpulan-kesimpulan dari keadaan yang kita hadapi itu, dan untuk dapat menarik kesimpulan yang tepat diperlukan kemampuan menalar yang baik.

Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan-aturan tertentu. Lalu apa kaitannya dengan logika?

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinya kata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari.

2) Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan

Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.

Perhatikan beberapa contoh berikut!

1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam

2. 4 + 3 = 8

3. Frodo mencintai 1

4. Asep adalah bilangan ganjil

Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.

Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!

1. Rapikan tempat tidurmu!

2. Apakah hari ini akan hujan?

3. Indah benar lukisan ini!

4. Berapa orang yang datang?

Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.

Catatan:

Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.

3) Kalimat Terbuka

Perhatikan contoh berikut ini!

1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya

2. seseorang memakai kacamata

3. clip_image002

4. clip_image004

Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.

Contoh:

clip_image004[1]

clip_image007 adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan clip_image009 untuk clip_image011 adalah selesaian.

Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat kita rumuskan sebagai berikut:

clip_image012

Pernyataan Majemuk

Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):

clip_image002[4] : Merupakan lambang operasi untuk negasi

clip_image004[6] : Merupakan lambang operasi untuk konjungsi

clip_image006 : Merupakan lambang operasi untuk disjungsi

clip_image008 : Merupakan lambang operasi untuk implikasi

clip_image010 : Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi

1) Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan

Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “clip_image002[5]” atau “clip_image012[4]”.

Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya clip_image002[6]p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya clip_image002[7]p benar.

Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

p clip_image014
B
S
S

B

B = benar

S = salah

Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!

1. clip_image016 : kayu memuai bila dipanaskan (S)

clip_image014[1] : kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)

2. clip_image019 : 3 bilangan positif (B)

clip_image021 : (cara mengingkar seperti ini salah)

3 bilangan negatif

(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)

2) Pernyataan Majemuk

Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.

Contoh: clip_image023 disebut konjungsi

clip_image025 disebut disjungsi

clip_image027 disebut Implikasi

clip_image029 disebut biimplikasi

3) Konjungsi (clip_image023[1])

Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.

Dengan tabel kebenaran

clip_image016[1] clip_image031 clip_image023[2]
B B B
B S S
S B S
S S S

Contoh:

1. clip_image016[2] : 5 bilangan prima (B)

clip_image031[1] : 5 bilangan ganjil (B)

clip_image023[3] : 5 bilangan prima dan ganjil (B)

2. clip_image016[3] : clip_image033 (B)

clip_image031[2] : clip_image035 (B)

clip_image023[4] : clip_image033[1] dan clip_image035[1] (B)

4) Disjungsi/ Alternasi (clip_image025[1])

Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif)

Dengan tabel kebenaran

clip_image016[4] clip_image031[3] clip_image025[2]
B B B
B S B
S B B
S S S

Contoh:

1. clip_image016[5] : 1 akar persamaan clip_image039 (B)

clip_image031[4] : -1 akar persamaan clip_image039[1] (B)

clip_image025[3] : 1 atau -1 akar persamaan clip_image039[2] (B)

2. clip_image016[6] : Bogor di Jawa barat (B)

clip_image031[5] : Bogor itu kota propinsi (S)

clip_image025[4] : Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)

5) Implikasi/ Kondisional (clip_image027[1])

clip_image027[2] boleh dibaca: p maka q

q hanya jika p

p syarat perlu untuk q

q syarat cukup untuk p

p disebut anteseden atau hipotesis

q disebut konsekuen atau konklusi

Implikasi clip_image027[3] bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.

Dengan tabel kebenaran

clip_image016[7] clip_image031[6] clip_image027[4]
B B B
B S S
S B B
S S B

Contoh:

1. Jika clip_image043, maka clip_image045 (B)

(B) (B)

2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang (B)

(S) (S)

6) Biimplikasi atau Bikondisional (clip_image029[1])

clip_image029[2] boleh dibaca: p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”)

jika p maka q, dan jika q maka p

p syarat perlu dan cukup untuk q

q syarat perlu dan cukup untuk p

biimplikasi clip_image029[3] bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.

Dengan tabel kebenaran

clip_image016[8] clip_image031[7] clip_image029[4]
B B B
B S S
S B S
S S B

Contoh:

1. clip_image043[1] jika dan hanya jika clip_image045[1] (B)

(B) (B)

2. clip_image048 jika dan hanya jika clip_image050 (S)

(B) (S)

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.

Implikasi : clip_image002[12]

Inversnya : clip_image004[8]

Konversnya : clip_image006[4]

Kontraposisinya : clip_image008[4]

Contoh:

Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas

Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas

Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring

Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring

Dengan tabel kebenaran:

clip_image010[4] clip_image012[6] clip_image014[6] clip_image016[20] Implikasi

clip_image002[13]

Invers

clip_image004[9]

Konvers

clip_image006[5]

Kontraposisi

clip_image008[5]

B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B

Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat kita katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan konvers. Bisa kita tulis:

clip_image022

clip_image024

Catatan:

clip_image026” artinya ekivalen

Contoh:

Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”

Jawab:

Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”

Penarikan Kesimpulan (Inferensi)

1) Pengertian Argumen

Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!

1. Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)

Harga barang naik (premis 2)

Jadi permintaan barang turun (konklusi)

2. Jika clip_image002[18], maka clip_image004[14] (premis 1)

clip_image002[19] (premis 2)

Jadi clip_image004[15] (konklusi)

Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:

a) Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”

b) Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis (pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).

2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma

Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.

1. Modus ponens

Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.

Bentuknya sebagai berikut:

clip_image006[10] (premis 1) berupa implikasi

clip_image008[10] (premis 2) berupa anteseden

——–

clip_image010[6] (konklusi)

Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui tabel kebenaran.

clip_image011[4]

clip_image008[11] clip_image014[8] clip_image006[11]
B B B
B S S
S B B
S S B

Argumentasi ini sah karena untuk premis clip_image006[12] dan clip_image008[12] benar, konklusi clip_image014[9] juga benar.

Contoh:

Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun

Harga barang naik

Jadi permintaan barang turun

3. Modus tollens

Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.

Bentuknya sebagai berikut:

clip_image006[13] (premis 1) berupa implikasi

clip_image018 (premis 2) berupa negasi dari konsekuen

———-

clip_image020 (konklusi)

Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

clip_image008[13] clip_image014[10] clip_image022[6] clip_image018[1] clip_image006[14]
B B S S B
B S S B S
S B B S B
S S B B B

Argumen ini sah, karena untuk premis clip_image006[15] dan clip_image018[2]benar, konklusi clip_image022[7] juga benar.

Contoh:

Persamaan clip_image025[12], clip_image027[12], maka clip_image029[12] dan clip_image031[18] berlainan

clip_image029[13] dan clip_image031[19] tidak berlainan

Jadi persamaan clip_image025[13], clip_image033[6]

4. Silogisma

Bentuknya sebagai berikut:

clip_image006[16] (premis 1) berupa implikasi

clip_image035[6] (premis 2) berupa implikasi

———-

clip_image037 (konklusi)

Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

clip_image008[14] clip_image014[11] clip_image039[8] clip_image006[17] clip_image035[7] clip_image042
B B B B B B
B B S B S S
B S B S B B
B S S S B S
S B B B B B
S B S B S B
S S B B B B
S S S B B B

Argumen ini sah, karena untuk premis clip_image006[18] dan clip_image035[8] benar, konklusi

clip_image042[1] juga benar.

Contoh:

Jika clip_image044, maka clip_image046

Jika clip_image046[1], maka clip_image048[4]

Jadi jika clip_image044[1], maka clip_image048[5]

About these ads

11 responses to “Logika Matematika

  1. Ada hal menarik tentang logika matematika. Kita tahu bahwa p \rightarrow q menyebabkan -q \rightarrow -p. Nah, sekarang perhatikan kalimat berikut: Jika saya tidak bisa melakukan apa pun, saya tidak dapat mengerjakan matematika. Jadi jika saya dapat mengerjakan matematika, saya dapat mengerjakan apa pun.

    Ada ada kesalahan di sini? :D

  2. Tidak ada yang salah dengan pernyataan itu. Penarikan kesimpulan seperti di atas adalah valid alias tepat. Akan tetapi, dalam aplikasinya, agar kesimpulan yang kita ambil itu benar adanya, maka asumsi-asumsi awal yang digunakan haruslah benar. Jika kita ambil contoh di atas, kesimpulan “Jadi jika saya dapat mengerjakan matematika, saya dapat mengerjakan apa pun” bisa benar apabila pernyataan sebelumnya, yakni: “Jika saya tidak bisa melakukan apa pun, saya tidak dapat mengerjakan matematika” kita asumsikan benar.
    Demikian tanggapan saya.

  3. “Jika saya tidak bisa melakukan apa pun, saya tidak bisa mengerjakan matematika” itu jelas benar dong. Kalau tidak bisa melakukan apa pun, mengerjakan matematika pun pasti tidak bisa.

    Sebenarnya ada kesalahan dengan bukti itu. Kita ambil pernyataan p: Saya tidak dapat mengerjakan apa pun. Tetapi tadi kita anggap kebalikannya adalah -p: Saya dapat mengerjakan apa pun. Ini salah! Seharusnya pernyataan -p yang tepat adalah: Saya dapat mengerjakan sesuatu. :D

  4. Kita memang seringkali terkecoh ketika membuat negasi dari sebuah pernyataan berkuantor. Contohnya, untuk kasus di atas :)!!
    Andai murid saya ada yang seperti anda, mungkin saya perlu belajar banyak ni he…he…
    O ya, sebenarnya saya kaget ketika ada komentar buat blog ini di e-mail saya, soalnya setelah beberapa saat blog ini di buat,saya belum sempet cek apalagi meng up date nya :).
    Sepertinya harus rajin update juga ni..
    Thx.

  5. ada pernyataan: “kalimat ini terdiri dari tujuh kata”, karena hanya memuat enam kata, berarti pernyataan ini bernilai salah.

    sekarang kita negasikan “kalimat ini tidak terdiri dari tujuh kata “. nilai dari negasi ini menjadi bener atau tetep aja salah ? :)

    NB: iseng aja kok :)

    http://matematikadasar.wordpress.com/2009/02/27/pembahasan-logika-membingungkan-eps2/

  6. mestinya sih, kalo pernyataannya salah ya negasinya pasti benar.
    makanya cek dulu, kalimat itu peryataan apa bukan.

    saya ga bisa jawab kang.. :)!

  7. itu namanya soal paradoks.

    banyak kok yang kayak begitu.

    kalimat itu adalah pernyataan, karena bisa dicari nilai kebenarannya. dan nilainya hanya satu yaitu salah.

    saya juga sama gak bisa jawab :), namanya juga paradoks :)

  8. Baru tahu kang, saya pikir paradoks salah satu teorinya Einstein :)!

  9. bos mau tanya nih…dalam hal umum pengertian dari logika matematika itu apa yyyyyyy… :)

  10. catatan ini sangat membantuquw menyelsaikan modul.quw..

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s